Der gedämpfte harmonische Oszillator

Herleitung der analytischen Lösung durch Integration der Bewegungsgleichungen

Problembeschreibung

Die gedämpfte harmonische Schwingung ist ein klassisches Problem der Mechanik. Es beschreibt die Bewegung eines mechanischen Oszillators (z.B. Federpendel) unter dem Einfluß einer Rücktriebskraft und von Reibung. Der folgende Artikel beschäftigt sich mit der Herleitung der Schwingungsgleichung für den gedämpften Oszillator. Wenngleich ein Grundverständnis für Differentialrechnung vorausgesetzt wird, ist es Ziel dieses Artikels die Herleitung mit möglichst vielen Details aufzuarbeiten, da viele der anderen verfügbaren Quellen im Internet wichtige Nebenrechnungen auslassen bzw. nur verkürzt darstellen.

damped oscillation damped spring
Bild 1: Schematische Darstellung einer gedämpften Schwingung. (Urheber: Jahobr bzw. Oleg Alexandrov; [1] und [2])

Die Bewegungsgleichung

Eine Bewegungsgleichung ist eine mathematische Gleichung, welche die räumliche und zeitliche Entwicklung eines dynamischen Systems unter Einwirkung äußerer Kräfte vollständig beschreibt. In der Regel handelt es sich um Differentialgleichungen zweiter Ordnung. In diesem Abschnitt betrachten wir zunächst die Kräfte, die die Bewegung des Pendels beeinflussen. Dem, durch die Trägheitskraft verursachten, Bestreben des Pendelkörpers seinen momentanen Bewegungszustand nicht zu ändern stehen die Federkraft und die Reibungskraft entgegen:

Trägheitskraft: $$F = m \ddot {x}$$
Federkraft: $$F_f = - k x$$
Reibungskraft: $$F_r = - \mu \dot{x}$$

Die Gleichung für die Trägheitskraft besagt, dass die Änderung der Bewegung eines Körpers der auf ihn einwirkenden Kraft proportional ist und das diese Bewegungsänderung stehts in der gleichen Richtung erfolgt, in der die Kraft wirkt. Dieser Zusammenhang ist auch als das das zweite Newtonsche Grundgesetz bekannt. Bei einem Oszillator wirkt weiterhin eine Federkraft \(F_f\), welche die Pendelmasse in Richtung des Nullpunktes zurückzieht. Diese Kraft ist direkt proportional zur Auslenkung des Pendels. Ihre Richtung ist der Pendelauslenkung entgegen gesetzt. Die Konstante \(k\) ist eine materialabhängige Federkonstante. Das Pendel soll weiterhin einer Reibungskraft \(F_r\) unterliegen. Deren Betrag ist proportional zur Bewegungsgeschwindigkeit, ihre Richtung ist der Bewegungsrichtung des Pendels entgegengesetzt. Wobei \(\mu\) ein Material- und Formabhängiger Reibungskoeffizient ist. (siehe auch Gesetz von Stokes). Der Trägheitskraft stehen also zwei Kräfte gegenüber, die das Pendel in Bewegung setzen. Die Bewegungsgleichung lautet demzufolge:

\begin{equation} \nonumber m \ddot {x} = - \mu \dot{x} - k x \label{eq:eqn_of_motion1} \end{equation}
oder umgeformt:
\begin{equation} \ddot {x} + {\mu \over m} \dot{x} + {k \over m} x = 0 \label{eq:eqn_of_motion2} \end{equation}

Bei dieser Gleichung handelt es sich um eine lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Die Bestimmung des Typs der Differentialgleichung ist wichtig, weil sich der Lösungsansatz danach richtet. Für das Lösen von Differentialgleichungen dieses Typs wird in der Regel der Exponentialansatz gewählt.

Lösungsansatz

Wie bereits erwähnt ist Gleichung \eqref{eq:eqn_of_motion2} eine homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Der Lösungsansatz ist, dass eine solche Differentialgleichung eine Lösung in Form der Exponentialfunktion hat. Das hier beschriebene Lösungsverfahren wird daher auch "Exponentialansatz" genannt. Diese spezielle Lösung hat die Form:

\begin{equation} x(t) = Ce^{\lambda t} \label{eq:exp_sol1} \end{equation}

Bildet man die erste und zweite Ableitungen vom speziellen Lösungsansatz \eqref{eq:exp_sol1}, so erhält man:

\begin{equation} \dot{x}(t) = \lambda Ce^{\lambda t} \\ \ddot{x}(t) = \lambda^2 Ce^{\lambda t} \label{eq:exp_sol2} \end{equation}
Durch Einsetzen der Gleichungen \eqref{eq:exp_sol1} und \eqref{eq:exp_sol2} in die Differentialgleichung \eqref{eq:eqn_of_motion2} erhält man:
\begin{equation} \nonumber \lambda^2 Ce^{\lambda t} + {\mu \over m} \lambda Ce^{\lambda t} + {k \over m} Ce^{\lambda t} = 0 \end{equation}
was sich durch Division mit \(Ce^{\lambda t}\) vereinfachen läßt zu:
\begin{equation} \lambda^2 + {\mu \over m} \lambda + {k \over m} = 0 \end{equation}
Diese Gleichung wird auch charakteristische Gleichung genannt. Es handelt sich um eine quadratische Gleichung in Normalform. Daher ergeben sich für \(\lambda\) folgende Lösungen:
\begin{equation} \lambda_{1,2} = - {\mu \over {2m} } \pm \sqrt { \Big({\mu \over {2m} }\Big)^2 - {k \over m} } \label{eq:lambda1} \end{equation}
Zur Vereinfachung führen wir die Konstanten \(\delta\) und \(\omega_0\) ein:
\begin{equation} \nonumber \delta = {\mu \over {2m} } \quad,\quad \omega_0 = \sqrt {k \over m} \end{equation}
Dadurch vereinfacht sich Gleichung \eqref{eq:lambda1} zu:
\begin{equation} \lambda_{1,2} = - \delta \pm \sqrt { \delta^2 - \omega_0^2 } \label{eq:lambda2} \end{equation}

Das weitere Vorgehen hängt davon ab, wie die Lösungen für \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) aussehen. Der Term im inneren der Wurzel ist die Diskriminante. Je nach Wahl der Konstanten \(\delta\) und \(\omega_0\) kann die Diskriminante größer also 0 sein, kleiner also 0 oder gleich 0 sein. Dadurch können \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\):

  • Zwei voneinander verschiedene reelle Lösungen sein.
  • Zwei konjugiert komplexe Lösungen sein.
  • Zwei identische reelle Lösungen sein.

Jede der drei Möglichkeiten erfordert einen, im Detail anderen, Lösungsansatz. Die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung hat die Form:

\begin{equation} x(t) = C_1 x_1(t) + C_2 x_2(t) \label{eq:general_sol} \end{equation}

Wobei die Funktionen \(x_1(t)\) und \(x_2(t)\) durch die Fallunterscheidung der Diskriminante aus Gleichung \eqref{eq:lambda2} festgelegt werden.

Fall 1: Der Kriechfall

Wenn \(\delta > \omega_0\), so hat man es mit starker Reibung zu tun. In diesem Fall ist die Diskriminante aus Gleichung \eqref{eq:lambda2} positiv und es existieren zwei reelle Lösungen für \(\lambda\). Der Lösungsansatz lautet dann:

\begin{equation} x_1(t) = C_1e^{\lambda_1 t} \\ \nonumber x_2(t) = C_2e^{\lambda_1 t} \end{equation}
Einsetzen dieses Ansatzes in Gleichung \eqref{eq:general_sol} ergibt:
\begin{equation} \nonumber x(t) = C_1e^{\lambda_1 t} + C_2e^{\lambda_2 t} \end{equation}
Was man wiederrum durch einsetzen der Lambda's aus Gleichung \eqref{eq:lambda2} umformen kann in:
\begin{equation} x(t) = C_1e^{(-\delta + \sqrt {\delta^2 - \omega_0^2 })\;t} + C_2e^{(-\delta -\sqrt { \delta^2 - \omega_0^2 })\;t} \label{eq:general_sol2} \end{equation}
Bevor wir fortfahren schauen wir uns die Exponenten in Gleichung \eqref{eq:general_sol2} näher an. Diese müssen zwangsläufig negative Werte haben, denn für den Kriechfall gilt:
\begin{equation} \delta > \sqrt {\delta^2 - \omega_0^2 } \end{equation}
Bei Gleichung \eqref{eq:general_sol2} handelt es sich also um die Addition von zwei abklingenden Exponentialfunktionen. Diese werden wir im Diagramm unten wiedersehen. Um die komplizierte Schreibweise zu vereinfachen ist es sinnvoll den Wurzelausdruck, der ohnehin eine Konstante ist, durch eine andere Konstante zu ersetzen. So definieren wir:
\begin{equation} \alpha = \sqrt {\delta^2 - \omega_0^2 } \end{equation}
Einsetzen in Gleichung \eqref{eq:general_sol2} und Ausklammern von \(e^{-\delta t}\) ergibt schliesslich:
\begin{equation} x(t) = e^{-\delta t} \Big(C_1e^{\alpha t} + C_2e^{-\alpha t}\Big) \label{eq:general_sol3} \end{equation}
als Lösung der Differentialgleichung für den Kriechfall. Die Integrationskonstanten \(C_1\) und \(C_2\) für ein spezielles Problem ergeben sich aus dessen Anfangsbedingungen, also der Startposition und der Startgeschwindigkeit des Pendels.
\begin{equation} x(0) = x_0 \quad,\quad \dot{x}(0) = v_0 \end{equation}
Anfangsbedingungen
Startposition \(x_0\)

Startgeschwindigkeit \(v_0\)
Material- und Geometrieparameter
\(\omega_0\)

\(\delta\)
Die Parameter ergeben keinen Kriechfall \( \delta \le \omega_0 \) !
Diagramm 1: Grafische Darstellung der allgemeinen analytischen Lösung des Kriechfalls. Im Diagramm dargestellt ist die Pendelauslenkung über der Zeit. Die blassrote Kurve zeigt die Teillösung \( C_1 e^{-\lambda_1 t}\), die blassgrüne Kurve die zweite Teillösung \( C_2 e^{-\lambda_2 t}\). Die schwarze Kurve ist die Summe der beiden Teillösungen und repräsentiert die Lösung der Schwingungsdifferentialgleichung für die am Rand eingestellten Anfangsbedingungen.

Fall 2: Der aperiodischer Grenzfall

Der aperiodischen Grenzfall tritt ein, wenn \(\delta = \omega_0\), man spricht auch von kritischer Dämpfung. Es handelt sich hierbei um den Übergang von Kriechfall zum Schwingfall. Gleichung \eqref{eq:lambda2} erhält in diesem Fall nur eine Lösung für \(\lambda\):

\begin{equation} \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda = -\delta \label{eq:lambda_aperiod} \end{equation}

Für diesen Fall wird der folgende Lösungsansatz verwendet:

\begin{equation} x_1(t) = C_1 e^{\lambda t} \\ x_2(t) = t \; C_2 e^{\lambda t} \label{eq:ansatz_aperiod} \end{equation}

Einsetzen von Gleichung \eqref{eq:lambda_aperiod} und \eqref{eq:ansatz_aperiod} in den allgemeinen Lösungsansatz \eqref{eq:general_sol} liefert die Lösungsformel für den aperiodischen Grenzfall:

\begin{equation} x(t) = e^{-\delta t} (C_1 + t \; C_2) \end{equation}
Auch hier ergeben sich die Integrationskonstanten \(C_1\) und \(C_2\) aus den Anfangsbedingungen eines speziellen Problems:
\begin{equation} x(0) = x_0 \quad,\quad \dot{x}(0) = v_0 \end{equation}
Die Details zur Berechnung der Konstanten können der hier verlinkten Nebenrechnung auf Wolfram Alpha entnommen werden.
Anfangsbedingungen
Startposition \(x_0\)

Startgeschwindigkeit \(v_0\)
Material- und Geometrieparameter
\(\delta\) bzw. \(\omega_0\)
Diagramm 2: Grafische Darstellung der allgemeinen analytischen Lösung des aperiodischen Grenzfalls. Im Diagramm dargestellt ist die Pendelauslenkung über der Zeit für die am Rand eingestellten Anfangsbedingungen.

Fall 3: Der Schwingfall

Der Schwingfall tritt ein für \(\delta < \omega_0 \). In diesem Fall wird die Diskriminante in Gleichung \eqref{eq:lambda2} negativ. Dadurch werden \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) komplexe Zahlen. Für die Lösung der Differentialgleichung wird erneut der Exponentialansatz \(x(t)=C e^{\lambda t}\) verwendet.

\begin{equation} x_1(t) = C_1 e^{\lambda_1 t} \\ \nonumber x_2(t) = C_2 e^{\lambda_2 t} \end{equation}

Einsetzen dieses Lösungsansatzes in Gleichung \eqref{eq:general_sol}, ersetzen von \(\lambda\) durch Gleichung \eqref{eq:lambda2} und Umformen ergibt:

\begin{equation} x(t) = e^{-\delta t} \Big( C_1 e^{\sqrt{\delta^2 - \omega_0^2}\; t} + C_2 e^{-\sqrt{\delta^2 - \omega_0^2}\; t}\Big) \label{eq:solution_schwingfall} \end{equation}

Diese Gleichung ist uns in leicht modifizierter Form bereits als Gleichung \eqref{eq:general_sol3} begegnet. Es ist die allgemeine Lösung der Schwingungsdifferentialgleichung. Allerdings haben wir es jetzt mit einer komplexen Lösung zu tun und so sind auch \(C_1\) und \(C_2\) komplexwertige Konstanten, denn im Schwingfall wird der Term innerhalb der Wurzel negativ. Für komplexe Zahlen hat Leonard Euler die nach ihm benannte eulersche Formel entdeckt, welche einen Zusammenhang zwischen komplexen Exponentialfunktionen und trigonometrischen Funktionen herstellt:

\begin{equation} \nonumber e^{i \phi} = cos \phi + i sin \phi \end{equation}

Daher ist es sinnvoll Gleichung \eqref{eq:solution_schwingfall} so umzuformen, das der Imaginäranteil wie folgt isoliert wird:

\begin{equation} \sqrt{\delta^2 - \omega_0^2} = \sqrt{-1 * (\omega_0^2 - \delta) } = i \sqrt{\omega_0^2 - \delta^2} \label{eq:iomega} \end{equation}

Im Ergebnis erhält man das Produkt aus der imaginären Einheit und einem realen konstanten Wurzelausdruck. Diesen substituieren wir duch eine neue Konstante:

\begin{equation} \omega = \sqrt{\omega_0^2 - \delta^2} \label{eq:omega} \end{equation}

Wie wir gleich sehen werden ist diese Konstante die Eigenfrequenz des schwingungsfähigen Systemes. Mit den Beziehungen aus Gleichung \eqref{eq:iomega} und \eqref{eq:omega} wird aus Gleichung \eqref{eq:solution_schwingfall}

\begin{equation} x(t) = e^{-\delta t} \Big( \underbrace{C_1 e^{i \omega t} + C_2 e^{- i \omega t}}_{\hat{x}(t)}\Big) \label{eq:sol_complex} \end{equation}

Physikalisch gesehen sind nur die rein reelwertige Lösung von Gleichung \eqref{eq:sol_complex} interessant. Um diese zu finden müssen wir die Real- und Imaginäranteile voneinander trennen. Wie bereits erwähnt sind \(C_1\) und \(C_2\) komplexwertige Konstanten, die wir nun in Polarschreibweise umformen um einfacher weiterrechnen zu können.

\begin{equation} C_1 = \hat{C_1} e^{i \phi_1} \\ C_2 = \hat{C_2} e^{i \phi_2} \label{eq:const_pol} \end{equation}

Der erste Teil von Gleichung \eqref{eq:sol_complex} beschreibt eine exponentiell abklingende Exponentialfunktion. Da die Konstante \(\delta\) reell ist, ist dieser Teil der Gleichung nicht komplexwertig. Wir konzentrieren uns daher auf den durch \(\hat{x}(t)\) markierten, zweiten Teil von Gleichung \eqref{eq:sol_complex} und setzten die Beziehungen \eqref{eq:const_pol} darin ein:

\begin{align} \hat{x}(t) & = \hat{C_1} e^{i \phi_1} e^{i \omega t} + \hat{C_2} e^{i \phi_2} e^{- i \omega t} \nonumber\\ & = \hat{C_1} e^{i (\phi_1 + \omega t)} + \hat{C_2} e^{i (\phi_2 - \omega t)} \nonumber\\ & = \hat{C_1} cos(\phi_1 + \omega t) + i \hat{C_1} sin(\phi_1 + \omega t) + \hat{C_2} cos(\phi_2 - \omega t) + i \hat{C_2} sin(\phi_2 - \omega t) \nonumber\\ & = \hat{C_1} cos(\phi_1 + \omega t) + \hat{C_2} cos(\phi_2 - \omega t) + i \Big(\hat{C_1} sin(\phi_1 + \omega t) + \hat{C_2} sin(\phi_2 - \omega t) \Big) \label {eq:sep_imag} \end{align}

In Gleichung \eqref{eq:sep_imag} sind die Real- und Imaginärteile von \(\hat{x}(t)\) getrennt. Uns interessieren nur Lösungen, für die der Imaginärteil verschwindet:

\begin{align} \hat{C_1} sin(\phi_1 + \omega t) + \hat{C_2} sin(\phi_2 - \omega t) & = 0 \nonumber\\ \hat{C_1} sin(\phi_1 + \omega t) & = - \hat{C_2} sin(\phi_2 - \omega t) \nonumber\\ \hat{C_1} sin(\phi_1 + \omega t) & = \hat{C_2} sin( - \phi_2 + \omega t ) \label{eq:purge_imag} \end{align}

Daraus folgt, das der Imaginärteil von Gleichung \eqref{eq:sol_complex} verschwindet, wenn gilt:

\begin{equation} \hat{C_1} = \hat{C_2} \; , \; \phi_1 = - \phi_2 \label{eq:complex_const2} \end{equation}

Oder in anderen Worten: Die Konstanten \(C_1\) und \(C_2\) müssen konjugiert komplexe Zahlen sein:

\begin{equation} \nonumber C_1 = C_2^* \end{equation}

Setzt man Gleichung \eqref{eq:complex_const2} in den verbliebenen Realteil von Gleichung \eqref{eq:sep_imag} ein so erhält man für \(\hat{x}(t)\):

\begin{align} \hat{x}(t) & = \hat{C_1} cos(\phi_1 + \omega t) + \hat{C_1} cos(-\phi_1 - \omega t) \nonumber \\ & = \hat{C_1} cos(\phi_1 + \omega t) + \hat{C_1} cos(\phi_1 + \omega t) \nonumber \\ & = 2 \hat{C_1} cos(\phi_1 + \omega t) \label{eq:xhat_final} \end{align}

Durch einsetzen von Gleichung \eqref{eq:xhat_final} in Gleichung \eqref{eq:sol_complex} erhält man die Lösung der Differentialgleichung für den Schwingfall:

\begin{equation} x(t) = e^{-\delta t} \Big( 2 A cos(\phi + \omega t) \Big) \label{eq:sol_complex_final} \end{equation}
Wobei die Konstanten \(\phi_1\) und \(\hat{C_1}\) in \(A\) und \(\phi\) umbenannt wurden. \(A\) ist eine Amplitude und \(\phi\) der Phasenwinkel. Auch hier ergeben sich die Konstanten \(A\) und \(\phi\) aus den Anfangsbedingungen eines speziellen Problems. Wie zum Beispiel:
\begin{equation} x(0) = x_0 \quad,\quad \dot{x}(0) = v_0 \end{equation}
Die Lösung der Konstantenberechnung bei diesem allgemein formulierten Problem kann der hier verlinkten Nebenrechnung auf Wolfram Alpha entnommen werden. Folgende Grafik zeigt den damit berechneten Amplitudenverlauf über der Zeit.
Anfangsbedingungen
Startposition \(x_0\)

Startgeschwindigkeit \(v_0\)
Material- und Geometrieparameter
\(\omega_0\)

\(\delta\)
Die Parameter ergeben keinen Schwingfall \( \omega_0 \le \delta \) !
Diagramm 3: Grafische Darstellung der allgemeinen analytischen Lösung des Schwingfalls. Im Diagramm dargestellt ist die Pendelauslenkung über der Zeit für die am Rand eingestellten Anfangsbedingungen.

Quellenangaben

  1. “Der Exponentialansatz zur Lösung der linearen, homogenen Dgl. 2. Ordnung.” Lukas Geiling, Martin Wagener (Dr. W. Seifert), Lehrdokument, Institute of Physics, University Halle-Wittenberg, D-06099 Halle, Germany
  2. “Gedämpfte harmonische Schwingungen.” Barbara Herzog, Kim Holm, Lehrdokument, Institute of Physics, University Halle-Wittenberg, D-06099 Halle, Germany
  3. "Freie gedämpfte Schwingung", Online-Angebot der Georg-August-Universität Göttingen, Georg-August-Universität Göttingen
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