Rendern einer Galaxie auf Basis der Dichtewellentheorie
Rendern von bewegten Galaxien ohne das zeitaufwendige Lösen von N-Körperproblemen

Einführung

Image of the Whirlpool-Galaxy

Bild 1: Spiralgalaxie M51. Die Galaxie besitzt eine deutlich sichtbare Spiralstruktur mit einer Vielzahl an H-II-Regionen die durch neu entstanden Sterne angeregt, in strahlendem Rot leuchten. Sie befindet sich in etwa 20-30 Millionen Lichtjahre Entfernung von der Erde.

Dieser Artikel beschreibt, wie man eine realistisch wirkende Spiralgalaxie auf Basis einfacher astronomischer und physikalischer Prinzipien modellieren kann. Ich werde dazu auf die wissenschaftlichen Hintergründe eingehen, allerdings nur soweit, wie sie zum Verständniss der Simulation notwendig sind. Begleitend zum Artikel stelle ich den Quellcode (C++/SDL/OpenGL) mit Projektfiles für die CodeBlocks IDE zur Verfügung.

Spiralgalaxien zählen zu den schönsten astronomischen Objekten am Nachthimmel. Bild 1 zeigt zum Beispiel die Whirlpool-Galaxie fotografiert vom NASA/ESA Weltraumteleskop Hubble. Das Bild zeigt mit großem Detailreichtum wie eine Spiralgalaxie aufgebaut ist. Erkennbar wird eine deutliche, helle Spiralarmstruktur mit einer Vielzahl an rot leuchtenden H-II-Regionen. Das ganze wird zusätzlich von vielen feinen dunklen Streifen durchzogen, die von interstellaren Staubwolken gebildet werden. Diese absorbieren das Licht der dahinter liegenden Sterne und erscheinen dadurch dunkler. Sie liefern aber auch Gas und schwere Elemente, die benötigt werden um neue Sterne und Planetensysteme zu erzeugen. Spiralarme sind der Ort, wo Sterne entstehen.

So schön, wie es ist, es ist nur ein Bild. Wie würde es wohl aussehen, wenn die Galaxie rotiert? Das naheliegendste ist es sicherlich eine N-Körpersimulation durchzuführen, allerdings ist so etwas wesentlich komplizierter und rechenintensiver als hier wünschenswert wäre. Wir brauchen also eine "Abkürzung", etwas das uns die Berechnung der komplizierten Interaktionen zwischen tausenden von Sternen erspart und das trotzdem nahe an der Realität ist. Diese "Abkürzung" liefert die Dichtewellentheorie.

Die Dichtewellentheorie

Bereits 1925 erkannte der schwedische Astronom Bertil Lindblad, daß unsere Milchstraße rotiert. Er erkannte weiterhin, daß die Winkelgeschwindigkeit dieser Rotation nach außen hin abnimmt. Damit war klar, daß die Spiralarme keine bloße statische Anhäufung von Sternen und Staub sein konnten, denn infolge der differentiellen Rotation der Milchstraße würden sich diese in kurzer Zeit auflösen (sog. Winding Problem; siehe Animation 2). Als Lösung dieses Problems entwickelte er eine erste Version der Dichtewellentheorie. Grundlage ist die Annahme, daß im Gravitationsfeld einer Galaxie eine Dichtewelle mit konstanter Geschwindigkeit umläuft. Diese Winkelgeschwindigkeit stimmt im allgemeinen nicht mit der Rotationsgeschwindigkeit des restlichen Systemes überein. Diese Ansätze wurden 1960 Jahren von den chinesischen Astronomen C.C. Lin und Frank Shu weiterentwickelt[1].

Animation 1: Wenn die Spiralarme starre Strukturen währen, müßte die Galaxie als ganzes um ihr Zentrum rotieren, damit diese sich nicht Auflösen. Dies steht im Widerspruch zu den Beobachtungen Lindblad und den physikalischen Gesetzen.

Animation 2: Differentielle Rotation der Sterne, wie von Lindblad beobachtet, würde starre Massenkonzentration in den Spiralarmen nach kurzer Zeit auflösen (Winding problem).

Animation 3: Umlaufbahnen auf Basis der Dichtewellentheorie erlauben stabile Spiralarme. Sterne bewegen sich auf ihren Orbits in die Arme hinein und wieder heraus.

Die Dichtewellentheorie soll hier Ausgangspunkt für die Modellierung einer Galaxie werden. Sie stellt eine vereinfachtes Modell dar, das es ermöglicht die Dynamik einer Galaxie zu beschreiben ohne auf N-Körpersimulationen zurück greifen zu müssen.

Klassifikation von Spiralgalaxien

Um die Vielzahl neu entdeckter Galaxien klassifizieren zu können, entwarf Edwin Hubble 1936 ein Ordnungsschema, das noch heute verwendet wird. Hubble unterschied dabei im wesentlichen zwischen elliptischen- und Spiralgalaxien. Elliptische Galaxien werden mit den Bezeichnern E0 bis E7 versehen, wobei die Abplattung der Galaxie bis E7 immer mehr zunimmt. Der Typ S0 ist eine Übergangsform hin zu den Spiralgalaxien. Die Spiralgalaxien selbst werden nachmals in Siralgalaxien (Sa bis Sc) und Spiralbalkengalaxien (SBa bis SBc) untergliedert.

Galaxientypen nach Hubble
Bild 2: Galaxientypen nach Edwin Hubble; Bild: Ville Koistinen (CC BY-SA 3.0)

Für die weitere Betrachtungen werden nur noch die Spiralgalaxietypen von Bedeutung sein. Diese unterscheiden sich dabei wie folgt voneinander:

Bahnkurven

Die Erste Teilaufgabe der Modellierung besteht darin, die Form der Galaxie möglichst realistisch wiederzugeben. Die Dichtewellentheorie sagt im Prinzip voraus, das die Spiralarme keine statischen Strukturen sind sondern Gebiete größerer Sternendichte die aufgrund der gegeneinander geneigten Bahnkurven der Sterne entstehen. Wir müssen also zunächst ein Modell für die Bahnkurven entwerfen. Es liegt nahe, uns am Sonnensystem zu orientieren und einfach anzunehmen, das die Sterne sich auf Bahnen bewegen, die ähnlich dem ersten Keplerschen Gesetz sind.

Gegeneinander um einen kleinen Winkel verschobene Elliptische Bahnkurven

Bild 3: Gegeneinander um einen kleinen Winkel verschobene Elliptische Bahnkurven.

Gegeneinander um einen kleinen Winkel verschobene Elliptische Bahnkurven

Bild 4: Bahnkurven einer Galaxie mit deutlich ausgeprägtem inneren Kernbereich und Ansatz einer Balkenstruktur. Der innere Kernbereich ist gelb, die Grenze der Scheibe grün markiert.

Die folgenden Eigenschaften scheinen für die Modellierung geeignet:

Um das hier in aller Deutlichkeit zu sagen: In der Realität sind die Bahnkurven keine Ellipsen! Die Annahme der Gültigkeit des ersten Keplerschen Gesetzes ist nicht ganz korrekt, denn die Masse einer Galaxie ist nicht in derem Zentrum konzentriert sondern flächig über die gesamte Scheibe verteilt. Es geht hier aber nicht um die möglichst exakte Berechnung von Bahnkurven sondern nur den optischen Eindruck und dafür reicht diese Näherung, denn komplett aus der Luft gegriffen ist sie auch nicht. Heute weiß man, dass ein bedeutender Teil der Masse im Zentrum konzentriert ist. So hat vermutlich jede Spiralgalaxie ein superschweres Schwarzes Loch im Zentrum und dieses kann durchaus die Millionen- bis Milliardenfache Masse unserer Sonne haben. Zusätzlich ist im Kern die Sternendichte am größten, d.h. auf einem relativ kleinen Gebiet befindet sich ein Großteil der Gesamtmasse. Die Annahme einer Punktmasse im Zentrum ist also nicht ganz richtig, aber als grobe Näherung für unsere Zwecke akzeptabel. Bild 3 zeigt elliptische Bahnkurven, die mit zunehmendem Radius leicht gegeneinander verschoben sind. Es wird deutlich, dass bereits dieses einfache Modell der gegeneinander verschobenen Bahnkurven eine deutliche Spiralstruktur erzeugt. Die Spiralarme starten allerdings direkt im Zentrum und der Zentralbereich der Galaxie tritt nicht besonders deutlich hervor.

Beobachtungen zeigen nun aber, dass der Zentralbereich (engl.: Bulge) einer Galaxie häufig rund ist und teilweise ausgeprägte Balkenstrukturen besitzt. Daher sollte das Modell auch solche Formen erlauben. Bei den Balkengalaxien fangen die Spiralarme beispielsweise erst ab einem bestimmten Radius an. Es scheint also logisch einen Kernbereich zu definieren innerhalb dessen andere Bahnexzentrizitäten verwendet werden können. Für die Modellierung wird angenommen, das der innerste Kern immer Rund ist und die Exzentrizität bis zum Rand des Kernbereichs hin zunehmen (können). Diese Korrektur erlaubt ansatzweise Balkenstrukturen, ist allerdings nicht astronomisch begründet sind sondern rein optischer Natur (siehe Bild 4). Die Simulation von Balkenstrukturen ist eine Wissenschaft für sich und soll hier nicht Thema sein. Darüber hinaus wird aus optischen Gründen in der Modellierung einen Aussenbereich definiert, der wiederum kreisrund ist und die komplette Spiralgalaxie einschließt. Je weiter man von einer Galaxie entfernt ist, um so besser kann deren Masse als Punktmasse genähert werden und es scheint zumindest nicht gänzlich unplausibel für Objekte, die eine Galaxie umkreisen nahezu kreisförmige Bahnen anzunehmen. Solche Objekte wären z.B. Kugelsternhaufen. (Die Bahnkurven des Aussenbereichs wurden in Bild 4 weggelassen)

Flächenhelligkeitsprofile von Galaxien

Mit den Bahnkurven kann man nun daran gehen die Galaxie mit Sternen zu füllen. Dies sollte nach Möglichkeit so geschehen, daß die Sternverteilung die Oberflächenhelligkeit real beobachteter Galaxien wiedergibt. Im wesentlichen muss hier beachtet werden, dass die Flächenhelligkeit des Zentralbereichs anderen Gesetzmäßigkeiten unterliegt als die der galaktischen Scheibe. Die Flächenhelligkeit im Zentralbereich einer Spiralgalaxie folgt den selben Gesetzmäßigkeiten, wie die Flächenhelligkeit von elliptischen Galaxien. Sie kann mit dem de Vaucouleurs-Gesetz beschrieben werden:

IR = I 0 e - κ R 1 4
mit:
I0
Zentrale Intensität

Die Verteilung der Oberflächenhelligkeit einer galaktischen Scheibe folgt dabei nach Freeman[3] in guter Näherung einem Exponentialgesetz:

IR = I 0 e - R R D
mit:
I0
Intensität an der Grenze zum Zentralbereich
RD
Scheibenskalenlänge (Länge auf der die Intensität um die hälfte abfällt)

Den Gesamthelligkeitsverlauf kann man durch Kombination der beiden Gleichungen ermitteln. Für die Modellierung wird angenommen, daß dieser Helligkeitsverlauf in direktem Zusammenhang mit der Sternhäufigkeit steht. Er dient daher als Grundlage für die Bildung einer Verteilungsfunktion für die Berechnung der Sternhäufigkeiten in Abhängigkeit des Galaxienradius. Die Sterne in der simulierten Galaxie werden also so verteilt, daß deren Verteilungsfunktion der hier abgebildeten Kurve entspricht:

Simulated galaxy Brightness distribution of a galaxy.

Bild 5 Links: Simulierte Galaxie mit einer Sternenverteilung, die der theoretisch zu erwartenden Oberflächenhelligkeitsfunktion entspricht; Rechts: Schematische Darstellung des Oberflächenhelligkeitsverlaufes einer Spiralgalaxie. Das Diagramm kombiniert die von Freeman und de Vaucouleurs ermittelten Flächenhelligkeitsprofile für den Zentral- und Scheibenbereiche einer Galaxie.

Farben von Sternen

Bis jetzt wurde die Form der Galaxie und deren Sternverteilung betrachtet. Die Farbgebung der Galaxie wurde ausser acht gelassen. Für eine möglichst realistische Wiedergabe der Galaxie ist die Farbgebung jedoch wesentlich, denn die Sterne einer Galaxie können nur bestimmte, genau definierte Farben besitzen. Die Farbe eines Sternes hängt dabei primär von dessen Oberflächentemperatur ab. Das zugrunde liegende Modell ist die Schwarzkörperstrahlung.

temperature spectrum

Bild 6: Farbtemperatur nach dem planckschen Strahlungsgesetz.

Für eine möglichst realistische Farbgebung sollten also nur solche Farben verwendet werden, die physikalisch für Sterne möglich sind. Für diese Modellierung werden die Temperaturen der Sterne zufällig im Bereich zwischen 3000 und 9000 Kelvin verteilt. In der Realität durchläuft ein Stern während seiner Lebensspanne verschiedene Phasen, die sich auch in unterschiedlichen Oberflächentemperaturen aüßern. Die Farbe eines Sterns ist also veränderlich und gibt unter anderem Hinweise auf dessen Alter. Die Berechnung dieser Farben ist ein verhältnismäßig komplizierter Prozess, der hier nicht im Detail erläutert werden kann. Hier wird für die Berechnung der Farben auf das Program specrend.c von John Walker[5] zurückgegriffen, der sich auf seiner Webseite ausführlich mit diesem Thema auseinander gesetzt hat. Vereinfacht gesagt ermöglicht sein Programm die Umrechnung von Temperaturwerten in die Rot, Grün und Blauwerte die ein Computer für die Farbdarstellung benötigt.

Wendet man diese Farbgebung auf Bild 5 an, so erhält man die in Bild 7 abgebildete Galaxie. Es zeigt sich nun besser, das die Sternhäufigkeit im Zentrum exponentiell zunimmt. Die Galaxie wirkt allerdings immer noch wie eine Ansammlung von Einzelpunkten. Die Darstellung besteht aus ca. 60000 einzelnen Punkten, Galaxien bestehen jedoch aus mehreren hundert Milliarden Sternen. Einzelne Sterne in anderen Galaxien als der Milchstraße oder ihrer unmittelbaren Begleiter können in Fotografien von Galaxien aufgrund der Entfernung in der Regel gar nicht aufgelöst werden. Was man sieht ist eine Art Nebel, der sich erst beim starken hereinzoomen in einzelne Sterne auflösen würde. Aus diesem Grund benötigen wir in der Grafik eine weitere Komponente, die diesem Umstand Rechnung trägt. Zusätzlich zu den Sternen werden dafür tausende diffuser Nebelwölkchen verteilt. In OpenGL kann man daür beispielsweise die Point sprite Extensions verwenden. Der Einfachheit halber werden diese Nebelelemente gleichmäßig über die galaktische Scheibe verteilt (siehe Bild 8).

Simulated galaxy Simulated galaxy Simulated galaxy

Bild 7: Darstellung einer Galaxie mit Sternenfarben auf Basis des Planckschen Strahlungsgesetzes.

Bild 8: Galaxie mit Sternen und Nebelkomponente auf Basis von OpenGL Pointsprites. Die Spiralstrukturen treten nun deutlicher hervor,

Bild 9: Das Endergebnis zeigt eine Galaxie mit Sternen, Nebeln und H-II Regionen, die sich in den Spiralarmen konzentieren.

Mit Bild 8 wird die Gesamtstruktur schon gut erfaßt, aber es fehlt noch ein entscheidendes Merkmal. In Bild 1 sieht man deutlich eine vielzahl roter Nebel, die sich in den Spiralarmen der Galaxie konzentrieren. Dabei handelt es sich um H-II Regionen. Das sind Sternentstehungsgebiete in ausgedehnten Wasserstoffwolken, die durch die darin entstehenden Sterne in einem typischen roten Licht erscheinen. Die hier modellierte Galaxie soll auch H-II Regionen enthalten, diese sollen sich dabei, wie in realen Galaxien, im wesentlichen in den Spiralarmen befinden. Für die Modellierung werden die H-II Regionen zunächst zufällig auf der galaktischen Scheibe verteilt. Um deren Sichtbarkeit auf die Spiralarme einzuschränken wird ein einfacher Trick angewendet. Die Größe mit der die H-II Region gezeichnet wird ist proportional zur Entfernung zweier benachbarter Dichtewellen an der Stelle, an der sie sich befindet.

Rotationskurven einer Galaxien

Bis jetzt wurde das Aussehen der Galaxie im statischen Zustand betrachtet. Im letzten Abschnitt geht es darum die modellierte Galaxie wie ihre realen Vorbilder rotieren zu lassen.

rotation curve

Bild 10: Rotationskurve einer Galaxie. Bild: Phil Hibbs (CC BY-SA 3.0)

Dafür muss man die Rotationskurve von Galaxien näher betrachten. Rotationskurven zeigen, wie schnell die Sterne und das Gas einer Galxie in Abhängigkeit von der Entfernung zum Zentrum rotiert. Beobachtungen zeigen, daß im inneren Bereich die Rotationskurve zunächst steil ansteigt. Dieses Verhalten entspricht in etwa der Rotation eines starren Körpers. Direkt im Anschluss daran flacht sich die Kurve ab und bleibt nahezu konstant (Bild 10; Kurve B). Dies ist jedoch ein Widerspruch zu Vorhersagen auf Basis der Masseverteilung der sichtbaren Materie. Diese Vorhersagen gingen von einer nach außen hin abfallenden Rotationskurve aus (Bild 10; Kurve A). Der Unterschied zwischen theoretisch berechneter und real beobachteten Rotationskurven führte zur Hypothese der dunklen Materie, mit deren Masse die flach verlaufenden Kurve B erklärbar wäre. Für die Modellierung wird eine Flache Rotationskurve wie in Kurve B dargestellt verwendet.

Das Endergebnis der Modellierung ist in Animation 4 dargestellt. Es zeigt eine Galaxie mit zwei Spiralarmen und H-II Regionen, die in etwa einer Galaxie von Hubble-Typus Sb entspricht. Ihre Rotation entspricht der Rotation einer Galaxie unter dem EInfluß von dunkler Materie.


Animation 4: Das Endergebnis der Modellierung zeigt eine Galaxie mit H-II Regionen, mit einem Rotationsverhalten, das real existierenden Galaxien nachempfunden ist.


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