Wie Entstehen die Gezeiten?

Eine Geschichte vom Mond, der Erde und einer Menge Wasser

Konsequenzen der Orbitalbewegung

Bislang haben wir nur die Wirkung der Mondgravitation auf die Erdoberfläche betrachtet. Wir haben gesehen, das die Richtung der Beschleunigungsvektoren auf das Mondzentrum zeigen. Wenn wir annehmen, das Wasser auf der Erdoberfläche diesen Vektoren folgt, so würde es einen Gezeitenberg auf der mondzugewandten Seite der Erde erzeugen. Das ist allerdings nicht genug, um die Gezeiten zu erklären.

Um das zu verdeutlichen, schauen wir mal auf die Bahndaten des Mondes und die Rotationsperiode der Erde. Die Erde benötige für eine Rotation um ihre eigene Achse 24 Stunden. Der Mond benötigt 27,32 Tage für einen kompletten Erdumlauf. In einem Einzigen Tag legt der Mond also folgende Winkeldistanz zurück:

$$360°/27.32 d = 13.18°$$

Die Erde muss sich also 373.18° drehen um dem Mond wieder die gleiche Position zuzuwenden. Das bedeutet, das eine Position auf der Erdoberfläche erst nach 24 Stunden und 52 Minuten wieder die gleiche Position in Bezug auf den Mond einnimmt. Wenn es nur einen Flutberg gäbe, wäre das der Zeitabstand zwischen zwei Flutereignissen. Durch Beobachtung am Meer kann man allerdings sofort feststellen, das der Zeitabstand zwischen zwei Flutereignissen 12 Stunden und 25 Minuten ist. Das ist die Hälfte des gerade berechneten Wertes. Die logische Schlussfolgerung ist, das es zwei Flutberge auf gegenüberliegenden Seiten der Erde geben muss. Die Gravitationskraft des Mondes und die Annahme Mond und Erde ruhen im Weltall reicht noch nicht aus um die Gezeiten zu erklären. Man kann nicht einfach ignorieren, das Erde und Mond gravitativ aneinander gebunden sind. In der Realität kreisen Mond und Erde um ihren gemeinsamen Schwerpunkt, wie in Animation 1 dargestellt.

Animation 1: Erde und Mond umkreisen ihren gemeinsamen Schwerpunkt. (Größen sind nicht maßstabsgetreu).
Animation 2: Jeder Punkt auf der Erdoberfläche folgt einem kreisförmigen Pfad mit dem gleichen Radius wie die Erde auf ihrer Bahn um den gemeinsamen Massenschwerpunkt.

Für Animation 1 haben wir ein Referenzsystem verwendet, das sich im Zentrum des gemeinsamen Schwerpunktes von Mond und Erde befindet. Wir nehmen an, das dieser Punkt im Verhältnis zum Rest des Weltalls in Ruhe verharrt. In der Physik nennt man ein solches System auch Inertialsystem. Nur in Inertialsystemen gelten die Newtonschen Grundgesetze in ihrer einfachsten Form.

Die Erdbahn verläuft nahezu kreisförmig um den gemeinsamen Schwerpunkt. Der Bahnradius sei \(d\), ihre Winkelgeschwindigkeit sei \(\omega\). Die mittlere Entfernung zwischen Mond und Erde beträgt 385000 km. Die Entfernung der Erde vom gemeinsamen Schwerpunkt kann man mit folgender Gleichung berechnen:

$$ r_{cm} = 385000 km \cdot {m_m \over {m_e + m_m}} = 4678 km $$ wobei:

Nach dieser Rechnung befindet sich der gemeinsame Schwerpunkt des Systems Mond-Erde innerhalb der Erde in einer Tiefe von 1700 km. Wenn man jetzt die Bewegung eines beliebigen Punktes auf der Erdoberfläche verfolgt, so stellt man fest, das dieser sich ebenfalls auf einer kreisförmigen Bahn bewegt. Der Bahnradius ist wiederrum identisch mit dem Abstand von Erdzentrum zum gemeinsamen Massezentrum des Systemes Erde-Mond. Das gilt für jeden Punkt auf oder innerhalb der Erde. Allerdings kreist jeder Punkt um einen anderen Mittelpunkt. In dem hier gewählten Referenzsystem wirkt also auf jeden Punkt eine identische Zentrifugalbeschleunigung, die sich wie folgt berechnet:

$$ a_z = \omega^2 \cdot r_{cm} $$

Die Ursache hierfür ist die Bewegung der Erde um den gemeinsamen Schwerpunkt des Systemes Erde-Mond. Die Berechnung der Winkelgeschwindigkeit auf Basis der Länge eines Mondmonates (27.32 Tage) ergibt:

$$ \omega = 2 \cdot \pi \cdot { 1 \over { 27.32 d \cdot 86400 s} } = 2.662 \cdot 10 ^{-6} s^{-1} $$

Woraus sich die Zentrifugalbeschleunigung wie folgt berechnet:

$$ a_z = (2.662 \cdot 10 ^{-6})^2 \cdot 4678000 = \underline { \underline { 3.31 \cdot 10^{-5} {m \over s^{2} } }} $$

Subtrahiert man diese Beschleunigung von der durch die Mondgravitation verursachten Beschleunigung, so ergibt sich die Gezeitenbeschleunigung. Doch dazu kommen wir gleich. Vorher schauen wir uns den Wert der Zentrifugalbeschleunigung nochmal genauer an. Die Zentrifugalkraft ist in Betrag und Richtung identisch für jeden Punkt auf und innerhalb der Erde, also auch im Erdmittelpunkt. Der Erdmittelpunkt ist gleichzeitig der Erdschwerpunkt. Die Zentrifugalkraft, die auf den Erdmittelpunkt wirkt ist in Animation 2 mit einem orangefarbenen Pfeil dargestellt. Wenn es eine Kraft gibt, die am Schwerpunkt der Erde wirkt, warum bewegt sich die Erde dann nicht weg vom Mond? Die Antwort auf diese Frage liegt darin, das Erde und Mond gravitativ aneinander gebunden sind. Zentrifugalkräfte sind Scheinkräfte. Sie können immer auf andere Kräfte zurückgeführt werden. In diesem Fall ist die eigentliche Ursache die Gravitationskraft des Mondes, der die Erde auf die Bahn um den gemeinsamen Schwerpunkt zwingt. Die Zentrifugalkraft wird durch die Gravitationskraft des Mondes ausgeglichen:

$$ a_g = \gamma \cdot { m_m \over d } = 6.675\cdot10^{-11} \cdot { {7.349 \cdot 10^2 } \over 385000000} = \underline { \underline {3.31\cdot10^{-5} {m \over s^{2} }} } $$ $$ a_g = a_z $$

Anstelle der Zentrifugalbeschleunigung kann man daher auch die Gravitationsbeschleunigung berechen, die der Mond auf das Erdzentrum ausübt. Beide Werte sind vom Betrag her identisch. Zieht man diese Beschleunigung von der durch die Mondgravitation auf der Erdoberfläche verursachten Beschleunigungsvektoren (siehe Gleichung 2) ab, so erhält man die Gezeitenbeschleunigung. Das Ergebnis ist in Animation 3 dargestellt. Es zeigt zwei Gezeitenberge, einen auf der mondzugewandten und einen auf der mondabgewandten Seite der Erde.

Animation 3: Das Gravitationsfeld des Mondes läßt zwei Gezeitenberge auf der Erde entstehen. Einen auf der mondzugewandten Seit und einen auf der Mondabgewandten Seite der Erde.

Mit den hier beschriebenen Grundlagen kann man ebenfalls die auf die Erde wirkende Gezeitenkraft der Sonne berechnen. Die Gezeitenkraft der Sonne ist ungefähr halb so groß, wie die des Mondes. Wenn Sonne, Mond und Erde in einer Linie liegen summieren sich die Gezeitenkräfte von Sonne und Mond auf (sog. Springflut). Dies wird auf der nächsten Seite näher erläutert werden.

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